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Differentialquotient

Das grüne Kurvenlineal steht für einen Funtkionsgraphen. Man kann es beliebig verbiegen, so daß verschiedene Steigungen unmittelbar begriffen werden können.

Der Stab, der an den verschiebbaren weißen Ringen befestigt ist, zeigt die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten des Graphen. Mit Hilfe der rot-gelben Meßlatte kann diese direkt als Zahl angegeben werden.

Schiebt man einen weißen Ring zu dem anderen, verändert sich auch die Steigung. Wenn beide Ringe übereinander liegen, hat man den Grenzwert, also den Differentialquotienten (die Ableitung) erreicht.

Algebra - Terme

Dieses Modell kann man z.B. bei der Einführung des Variablenbegriffs verwenden. Variablen werden durch kleine Kisten dargestellt, in die man Zahlen in Form von Spielchips hineinstecken kann. Der entscheidende Abstraktionsschritt - vom Rechnen mit Zahlen zum Rechnen mit Buch­staben - kann in beliebig kleine Lerneinheiten gegliedert werden: zunächst benutzt man z.B. für das Kom­mutativgesetz ( a + b = b + a ) Zahlen, dann Zahlen in offenen Kisten, dann in geschlosse­nen, usw. Jedesmal führt man die gleiche Handlung aus. Nichts anderes als diese Handlung drückt das Kommutativgesetz aus.

Die Rechenzeichen bestehen aus verschiedenen, gut unterscheidbaren Materialien. Auch sind die drei Bedeutungen des Minuszeichens materiell unterschieden („Minus“ in der Bezeichnung einer negativen Zahl, als Vorzeichen und als Rechenzeichen). So können die bekannten Schwierigkeiten im Umgang mit diesem Zeichen vermieden werden.

Oft ist es für Schülerinnen und Schüler problematisch, eine Variable in einer Formel durch einen ganzen Term zu ersetzen. Dafür gibt es in diesem Modell die Summen- und Produkt-Brettchen, auf denen die Terme liegen. Auf diese Weise können längere ausdrücke als Einheit wahrgenommen werden. Mit ihnen kann wie mit einfachen Variablen verfahren werden.

Algebra - Gleichungen

algebra - Gleichungen Anhand dieser "doppelten" Waage können Äquivalenzumformungen eingeübt werden. Fügt man auf beiden Seiten gleich viele Gewichte hinzu oder halbiert man die Anzahl aller vorhandenen Gewichte, bleiben beide Seiten gleich schwer.

Legt man eine Einheit auf die rechte Seite in den Minus-Bereich auf die ansonsten leere Waage, schlägt der Zeiger nach links aus. Das zeigt, dass -1 hier wirklich leichter als 0 ist.

Mittels unterschiedlicher Einheiten können auch Gleichungen mit mehreren Variablen dargestellt werden. Benutzt man Knetmasse als Gewicht, kann sogar durch Brüche geteilt, quadriert oder können Wurzeln gezogen werden.

Integralrechnung - Hauptsatz

Integralrechnung Die Streifen im oberen Koordinatensystem kann man als Fläche unterhalb einer Kurve auffassen. Die untere Kurve gibt z.B. bei 3 an, wieviel Fläche sich zwischen 1 und 3 im oberen Bild befindet; bei 4 gibt sie an, wieviel Fläche sich zwischen 1 und 4 im oberen Bild befindet. Sie steigt stark an, wenn oben ein großer „Funktionswert“ - z.B. GELB - hinzukommt. Sie steigt nicht so stark, wenn oben ein kleiner „Funktionswert“ hinzukommt - z.B. GRÜN.

Man traut sich kaum, es zu sagen, aber das ist die zentrale Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Primzahlen

Primzahlen Weil man sie so oft braucht, ist es praktisch, die Primzahlen bis 20 im Kopf zu haben. Dieses Modell hilft beim Auswendiglernen. Dargestellt sind die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19. Sie können mit beiden Händen gleichzeitig abgegriffen werden, sodass die Gehirnhälften zur Zusammenarbeit angeregt werden. Unterschiedliche Farben, Formen und Größen machen die Zahlen optisch unterscheidbar, verschiedene Materialien und unterschiedliche Strukturen (horizontal - vertikal, flach - erhaben) ermöglichen ein "handwerkliches" Lernen und schließlich wird durch den individuell bestimmbaren Rhythmus beim Abgreifen und dem damit verbundenen Mitsprechen der Hörsinn angesprochen.

Meistens reicht ein einziger Durchgang, um die Zahlen auswendig zu lernen.

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