Lehrmaterialien Mathematik
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Lehrmaterial - Modelle

Differentialquotient

Das grüne Kurvenlineal steht für einen Funtkionsgraphen. Man kann es beliebig verbiegen, so daß verschiedene Steigungen unmittelbar begriffen werden können.

Der Stab, der an den verschiebbaren weißen Ringen befestigt ist, zeigt die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten des Graphen. Mit Hilfe der rot-gelben Meßlatte kann diese direkt als Zahl angegeben werden.

Schiebt man einen weißen Ring zu dem anderen, verändert sich auch die Steigung. Wenn beide Ringe übereinander liegen, hat man den Grenzwert, also den Differentialquotienten (die Ableitung) erreicht.

Algebra - Terme

Dieses Modell kann man z.B. bei der Einführung des Variablenbegriffs verwenden. Variablen wer­den durch kleine Kisten dargestellt, in die man Zahlen in Form von Spielchips hineinstecken kann. Der entscheidende Abstraktionsschritt - vom Rechnen mit Zahlen zum Rechnen mit Buch­staben - kann in beliebig kleine Lerneinheiten gegliedert werden: zunächst benutzt man z.B. für das Kom­mutativgesetz ( a + b = b + a ) Zahlen, dann Zahlen in offenen Kisten, dann in geschlosse­nen, usw. Jedesmal führt man die gleiche Handlung aus. Nichts anderes als diese Handlung drückt das Kommutativgesetz aus.

Die Rechenzeichen bestehen aus verschiedenen, gut unterscheidbaren Materialien. Auch sind die drei Bedeutungen des Minuszeichens materiell unterschieden („Minus“ in der Bezeichnung einer negativen Zahl, als Vorzeichen und als Rechenzeichen). So können die bekannten Schwierigkeiten im Umgang mit diesem Zeichen vermieden werden.

Oft ist es für Schülerinnen und Schüler problematisch, eine Variable in einer Formel durch einen ganzen Term zu ersetzen. Dafür gibt es in diesem Modell die Summen- und Produkt-Brettchen, auf denen die Terme liegen. Auf diese Weise können längere Ausdrücke als Einheit wahrgenommen werden. Mit ihnen kann wie mit einfachen Variablen verfahren werden.

Algebra - Gleichungen

Algebra - Gleichungen Anhand dieser "doppelten" Waage können Äquivalenzumformungen eingeübt werden. Fügt man auf beiden Seiten gleich viele Gewichte hinzu oder halbiert man die Anzahl aller vorhandenen Gewichte, bleiben beide Seiten gleich schwer.

Legt man eine Einheit auf die rechte Seite in den Minus-Bereich auf die ansonsten leere Waage, schlägt der Zeiger nach links aus. Das zeigt, dass -1 hier wirklich leichter als 0 ist.

Mittels unterschiedlicher Einheiten können auch Gleichungen mit mehreren Variablen dargestellt werden. Benutzt man Knetmasse als Gewicht, kann sogar durch Brüche geteilt, quadriert oder können Wurzeln gezogen werden.

Integralrechnung - Hauptsatz

Integralrechnung Die Streifen im oberen Koordinatensystem kann man als Fläche unterhalb einer Kurve auffassen. Die untere Kurve gibt z.B. bei 3 an, wieviel Fläche sich zwischen 1 und 3 im oberen Bild befindet; bei 4 gibt sie an, wieviel Fläche sich zwischen 1 und 4 im oberen Bild befindet. Sie steigt stark an, wenn oben ein großer „Funktionswert“ - z.B. GELB - hinzukommt. Sie steigt nicht so stark, wenn oben ein kleiner „Funktionswert“ hinzukommt - z.B. GRÜN.

Man traut sich kaum, es zu sagen, aber das ist die zentrale Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Primzahlen

Primzahlen Weil man sie so oft braucht, ist es praktisch, die Primzahlen bis 20 im Kopf zu haben. Dieses Modell hilft beim Auswendiglernen. Dargestellt sind die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19. Sie können mit beiden Händen gleichzeitig abgegriffen werden, sodass die Gehirnhälften zur Zusammenarbeit angeregt werden. Unterschiedliche Farben, Formen und Größen machen die Zahlen optisch unterscheidbar, verschiedene Materialien und unterschiedliche Strukturen (horizontal - vertikal, flach - erhaben) ermöglichen ein "handwerkliches" Lernen und schließlich wird durch den individuell bestimmbaren Rythmus beim Abgreifen und dem damit verbundenen Mitsprechen der Hörsinn angesprochen.

Meistens reicht ein einziger Durchgang, um die Zahlen auswendigzulernen.

Bruchstreifen

Bruchstreifen Die Bruchstreifen veranschaulichen Brüche. Die Größe eines Bruchs ist auf den Streifen direkt ablesbar. Z.B. mit Büroklammern kann man Bruchzahlen markieren und mit ihnen rechnen.

Brüche haben "merkwürdige" Eigenschaften: Man kann sie verändern und trotzdem bleiben sie gleich (erweitern und kürzen); man teilt etwas und es wird größer (dividieren durch einen Bruch); man multipliziert etwas und es wird kleiner (Bruchmultiplikation). Diese Eigenschaften sind mit Hilfe der Streifen unmittelbar und konkret sichtbar. Dazu reicht es aus, sie nebeneinander zu legen. Es lassen sich aber auch viele unterschiedliche Einsatzmöglichkeiten finden.

Funktionen

Funktionen "Funktionen sind Zuordnungen, die jedem x genau ein y zuordnen." Schon der vergleichsweise sehr abstrakte Begriff der Zuordnung ist für junge Menschen oft ein Problem. Bei diesem Spiel geht es darum, verschiedene Holzformen (abwechselnd oder reihum) auf die Vorlage zu legen. Eine Zuordnung ist dann einfach das, was auf dem Tisch steht. Man braucht nur eine einzige Spielregel, um auf diese Weise Funktionen zu erhalten. Weitere Regeln sind schnell gefunden, z.B.: Vor dem legen darf man zwei Holzformen vertauschen. Sie machen das Spiel anspruchsvoller. Ganz nebenbei wird der Funktionsbegriff eingeübt.

Funktionen treten in sehr vielen und unterschiedlichen Lebensbereichen auf. Das kann das Erkennen des reinen, mathematischen Funktionsbegriffs wie auch dessen Anwendung erschweren. Mit Hilfe dieses Spiels lassen sich völlig abstrakte Funktionen buchstäblich anfassen und begreifen. Das Problem der Anwendbarkeit reduziert sich dann zum großen Teil auf die Frage: Könnte ich (prinzipiell) die Dinge, die ich zuordnen möchte, auf den Tisch legen?

Vektorraum

Vektorraum Hier ist ein dreidimensionaler Vektorraum zum anfassen. Die Koordinaten von Vektoren, die skalare Multiplikation, Vektoraddition, Ebenenschnitte und vieles mehr kann man mit diesem Modell sehr einfach darstellen und konkret durchführen. Das räumliche Vorstellungsvermögen wird dabei gezielt und mühelos verbessert.







Gesetz der großen Zahlen

Gesetz der großen Zahlen Wirft man eine Münze 20 mal, ist es wahrscheinlicher, dass 10 mal "Zahl" fällt als dass 20 mal "Zahl" fällt. Verteilt man die Wahrscheinlichkeiten (in Form von roten Flächen) beim 20-fachen Münzwurf auf die möglichen Ergebnisse (0 mal "Zahl", 1 mal "Zahl", ..., 20 mal "Zahl"), stellt man fest, dass in der Mitte mehr Wahrscheinlichkeit ist als außen. Abgebildet sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen beim 7-fachen, 20-fachen, 50-fachen und 100-fachen Münzwurf. Die Alltagserfahrung sagt uns: Je häufiger man eine Münze wirft, desto eher wird sich die relative Häufigkeit von "Zahl" bei 50% einpendeln. An den Schaubildern kann man das direkt ablesen: Während sich beim 7-fachen Münzwurf die rote Fläche noch auf den gesamten Bereich der möglichen Ergebnisse verteilt, befindet sich beim 100-fachen Münzwurf auf den großen Außenbereichen fast keine Wahrscheinlichkeit mehr. So kann man mit einem Blick verstehen, was das gefühlsmäßig eher unzugängliche und formal relativ anspruchsvolle (starke und schwache) Gesetz der großen Zahlen im wesentlichen aussagt.

Kugel

Kugel Um zu verstehen, warum Punkte auf Kugeloberflächen in Grad und nicht etwa in Zentimetern oder Kilometern angegeben werden, muß man sich zwei rechtwinklig liegende Kreisscheiben innerhalb einer Kugel vorstellen können. Man kann natürlich auch Kreisscheiben in eine durchsichtige, aufklappbare Kugel hineinkonstruieren. Macht man das wie auf dem Bild gezeigt, können alle Scheiben unabhängig voneinander gedreht oder als Einheit gegenüber der (z.B.) Äquatorebene geneigt werden. Längen- und Breitenkreise können auf die Kugel aufgemalt werden. Kugelsegmente entstehen durch das Hineinlegen von Kreisen, ebenso Schnitte von Ebenen mit der Kugel. Den Unterschied zwischen dem Abstand zweier Punkte der Kugeloberfläche und der Weglänge auf der Kugeloberfläche zwischen ihnen erhält man, wenn man einen Stab in die Kugel legt. Es gibt noch viele weitere Anwendungen wie Kugelkeile, den Steradiant, das Foucault´sche Pendel usw.

Würfel

Würfel Passen wirklich 1000 von den bunten Würfeln in den großen Würfel? Dieser hat eine Kantenlänge von 10 cm, die kleinen haben eine Kantenlänge von 1 cm. Selbst wenn man die Situation vor sich hat, mag man es kaum glauben. Erst wenn versucht wird, die kleinen Würfel im großen aufzustapeln, wird klar, dass dort wirklich so viele hineinpassen.

Die Würfel machen noch viele weitere Zusammenhänge begreifbar. Z.B.: Das Assoziativgesetz der Multiplikation, das Distributivgesetz, die Volumenberechnung von Quadern, Kubikzahlen, zweidimensionale Funktionen etc.

Zahlenbrett

Zahlenbrett Dieses Zahlenbrett ist eigentllich ein Zahlentuch. Die Glasmurmeln bleiben in Vertiefungen der darunter liegenden Teigmasse liegen. Man kann es als Multiplikationsbrett, Divisionsbrett, Wurzelbrett oder auch zur Veranschaulichung der binomischen Formeln verwenden.

Extremwertaufgabe I

Extremwertaufgabe I Die Schwierigkeit bei Extremwertaufgaben besteht oft darin, sich die Aufgabenstellung konkret vorzustellen. Geht es z.B. darum, einen Zylinder mit vorgegebenem Volumen und minimaler Oberfläche zu finden, braucht man schon ein paar Zylinder "im Kopf", um die Abhängigkeit der Oberfläche vom Radius der Grundfläche zu erkennen. Man kann sich Zylinder aber auch leicht selbst bauen. Die abgebildeten Zylinder haben alle ein Volumen von einem Liter. Die Vorlagen zum Ausschneiden stehen auf der Seite Lehrmaterialien - Texte.

Extremwertaufgabe II

Extremwertaufgabe II Diese Schachteln sind wegen folgender Extremwertaufgabe entstanden: Aus einem Blatt Papier (19 x 27,7) wird an jeder Ecke ein gleich großes Quadrat ausgeschnitten. Dann werden die überstehenden Teile zu einer Schachtel hochgebogen. Gesucht ist die Schachtel mit dem größten Volumen. Wenn ein Schüler diese Aufgabe nicht versteht, liegt das meist daran, dass er sich irgendetwas nicht korrekt vorstellt. Für einen Lehrer ist es sehr schwierig, herauszufinden, was sich ein Schüler nicht vorstellt. Kann man aber die Schachteln in die Hand nehmen, klärt sich vieles von selbst. Auch die Oberstufenmathematik ist also "Mathematik zum Anfassen".

Extremwertaufgabe III

Extremwertaufgabe III Hier ist eine Veranschaulichung der Extremwertaufgabe, bei der wegen eines unterirdischen Kanalbaus zu einem vorgegebenen Querschnittsumfang die maximale Querschnittsfläche gefunden werden soll. Besonders deutlich sieht man hier, warum der Umfang konstant sein soll: dieser entspricht nämlich der Anzahl der benötigten Steine.

Kubikzentimeter auf Quadratmeter

Kubikzentimeter Ein Kubikzentimeter liegt auf einem Quadratmeter. 10000 könnte man darauf legen. Dieses Foto entstand während eines Mathematik-Kurses der VHS Münster im Jahr 2008 zur Vorbereitung der zentralen Prüfungen in Klasse 10.




Milliliter - Liter - Quadratmeter

Mililiter Ein Milliliter ist so groß wie ein Kubikzentimeter und ein Liter ist so groß wie ein Kubikdezimeter. Beide liegen auf einem Quadratmeter. Dieses Foto entstand während eines Mathematik-Kurses der VHS Münster im Jahr 2008 zur Vorbereitung der zentralen Prüfungen in Klasse 10.



Zufallsvariable

Zufallsvariable Dieses Foto entstand während eines Kurses zur Abiturvorbereitung 2008 im Fach Mathematik an der Volkshochschule Münster. Dargestellt ist eine Zufallsgröße zum anfassen. Diese hier ist binomialverteilt.
Wenn man einen 1 Meter langen Papierstreifen auseinander schneidet (die Wahrscheinlichkeit entspricht der Länge in Metern) und die Stücke auf die Zahlen verteilt, erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße.


VHS Münster, Turmbau zur Nase

VHS Münster, Turmbau zur Nase Auch das hat mit mathematischem Denken
zu tun: Einen maximal hohen Turm mit begrenzten Materialien (Kopierpapier und Klebeband) bauen. Dieser Turm entstand während eines Mathematik-Kurses 2008 an der VHS Münster.









VHS Münster, Kaffeebohnen

VHS Münster, Kaffeebohnen Es ist immer wieder erstaunlich, für welche Probleme sich Menschen spontan begeistern können, wenn sie einfach ein bißchen
Material in der Hand haben! Hier wollten die Teilnehmer unbedingt herausfinden, mit welchen Zählstrategien man die Anzahl der Kaffeebohnen bestimmen kann. (Vom Kursleiter wurde natürlich etwas ganz anderes gefragt.) Dieses Foto entstand
2008 während eines Mathematik-Kurses der VHS Münster.

Steigungsschablone

Für fast alle Aufgaben der Differentialrechnung ist es wichtig, sich Ableitungen vorstellen zu können. Gerade in den anwendungsbezogenen Abituraufgaben muss man aus einem gegebenen Graphen die Ableitung direkt ablesen. Aber auch im "normalen" Schulalltag spart man viel Zeit und Arbeit, wenn man weiß, was eine Ableitung grafisch bedeutet.

Diese Schablone zeigt sehr einfach, wie das grafische Ableiten funktioniert. Man muss die Schablone nur auf die entsprechende Stelle des Funktionsgraphen legen, dem Pfeil folgen und dort einen Punkt einzeichnen. Nach wenigen Wiederholungen hat man die Ableitung. Einfacher geht´s nicht!


Bruchstreifen










Formelvorlagen